Az összeg a háromszög szögeinek. A tétel az összeg háromszög szögeinek

A háromszög egy olyan sokszög, amelynek három oldala (három szög). Leggyakrabban a részét jelöli kisbetűkkel megfelelő betűvel, amely képviseli szemközti csúcsa. Ebben a cikkben megnézzük az ilyen típusú geometriai formák, tétel, mely meghatározza, hogy mit összegével egyenlő a háromszög szögeinek.

Típusai legnagyobb szögek

A következő típusú sokszög három csúcsa:

• hegyesszögű, amelyben a szögek élesek;
• téglalap alakú, amely egy derékszögben, az oldalsó alkotó, hogy, említett a lábak, és az oldalsó, hogy szemben van elhelyezve, a derékszög az úgynevezett átfogója;
• tompaszög, ha az egyik szög tompaszög ;
• egyenlő szárú, amely a két fél egyenlő, és hívják oldalán, és a harmadik - egy háromszög egy bázissal;
• egyenlő oldalú, amelynek három egyenlő oldala.

tulajdonságok

Kiosztani az alapvető tulajdonságok, amelyek jellemzője a minden típusú háromszög:

• szemben a legnagyobb oldalon mindig nagyobb szögben, és fordítva;
• egyenlő szögek szemben egyenlő legnagyobb párt, és fordítva;
• bármilyen háromszög két hegyes szögek;
• külső szöge nagyobb, mint bármely belső szöge nem szomszédosan hozzá;
• összege bármely két szög mindig kisebb, mint 180 fok;
• külső szög egyenlő a másik két sarkok, amelyek nem mezhuyut vele.

A tétel az összeg háromszög szögeinek

A tétel kimondja, hogy ha összeadjuk az összes sarkából a geometriai forma, amelynek székhelye az euklideszi síkon, akkor ezek összege lesz 180 fok. Próbáljuk ezt bizonyítani tétel.

Hagyja, hogy van egy tetszőleges háromszög csúcsai KMN. Az egész tetején M tart közvetlen párhuzamos vonal KN (még ez a vonal az úgynevezett Euclid). Meg kell jegyezni, pont úgy, hogy a pontok K és A rendezett különböző oldalán a vonal MN. Megkapjuk az azonos szögben AMS és MUF, amely, mint a belső, feküdjön keresztben alkotnak metsző MN együtt közvetlen CN és MA, amelyek párhuzamosak. Ebből az következik, hogy az összeg a szögek a háromszög található, a csúcsok M és N egyenlő a méret a CMA szög. Mindhárom szögek állnak összeg megegyezik a szögek összege KMA és MCS. Mivel az adatok belső szögek relatív kétoldalas párhuzamos vonalak CL és CM MA metsző, hogy összegük 180 fok. Ez azt bizonyítja, a tétel.

eredmény

A fenti a fenti tétel magában foglalja a következő következménye: minden háromszög két hegyes szögek. Ennek bizonyítására tegyük fel, hogy ez a geometriai alakzat csak egy hegyesszög. Azt is feltételezik, hogy sem a sarkok nem éles. Ebben az esetben legalább két szög, amelynek nagysága egyenlő vagy nagyobb, mint 90 fok. De akkor a szögek összege nagyobb, mint 180 fok. De ez nem lehet, mert szerint a tétel összege háromszög szögeinek egyenlő 180 ° - nem több, nem kevesebb. Ez az, amit meg kellett bizonyítani.

Az ingatlan külső sarkok

Mi az az összeg, a háromszög szögeinek, amelyek a külső? A válasz erre a kérdésre alkalmazásával kapott kétféleképpen. Az első az, hogy meg kell találni a szögek összege, amelyeket úgy vettek egyet minden csúcsba, hogy van, három szög. A második azt jelenti, hogy meg kell találni az összeget a hat szögek csúcsait. Foglalkozni a kezdete az első kiviteli alakban. Így, a háromszög tartalmaz hat külső sarkok - tetején a két. Minden párban azonos szögben egymás között, mivel azok függőleges:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Ezen kívül az is ismert, hogy a külső sarokban egy háromszög egyenlő a két belső, amelyek nem mezhuyutsya vele. ezért

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Ebből úgy tűnik, hogy az összeg a külső szögek, amelyeket egyesével készítheti közel minden csúcs lesz egyenlő:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

Tekintettel arra, hogy a szögek összege egyenlő 180 fokkal, azt lehet mondani, hogy ∟A + ∟V ∟S = + 180 ° C. Ez azt jelenti, hogy ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. Ha a második opciót használjuk, akkor az összeget a hat szögek lesznek megfelelően nagyobb kétszer. Azaz az összeget a háromszög szögeinek kívül lesz:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

derékszögű háromszög

Mi az összegével egyenlő szögek a derékszögű háromszög, amelyek éles? A válasz megint Tételből, amely kimondja, hogy a háromszög szögei hozzá akár 180 fok. A hang a követelés (tulajdon) az alábbiak szerint: a derékszögű háromszög éles szögek hozzá akár 90 fok. Bebizonyítjuk a valóságnak. Legyen adott háromszög KMN, amely ∟N = 90 °. Meg kell bizonyítani, hogy ∟K ∟M = + 90 °.

Így szerint a tétel a szögek összege ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. Ebben az állapotban azt mondják, hogy ∟N = 90 °. Kiderült ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. Ez ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °. Ez az, amit meg kellene bizonyítani.

Amellett, hogy a fenti tulajdonságokat a derékszögű háromszög, felveheti ezeket:

• szögek, amely felfekszik a lábak élesek;
• átfogója a háromszög nagyobb, mint bármelyik lábát;
• az összeg a lábát több, mint a átfogója;
• lábát a háromszög, amely átellenesen helyezkedik el a szög 30 fok, a fele a átfogója, amely egyenlő a felére.

Mivel egy másik tulajdonsága a geometriai alakzat lehet megkülönböztetni Pitagorasz tétel. Azt állítja, hogy egy háromszög egy szög 90 fok (téglalap), a négyzetének összege a lábak egyenlő a tér a átfogója.

A szögek összege egyenlő szárú háromszög

Korábban azt mondtuk, hogy egy egyenlő szárú háromszög olyan sokszög három csúcsa, amely két egyenlő oldala van. Ez a tulajdonság az úgynevezett geometriai alakzat: a szögek saját bázis egyenlő. Lássuk be ennek.

Vegye háromszög KMN, ami egyenlő szárú, SC - alapja. Azt kell bizonyítani, hogy ∟K = ∟N. Tehát tegyük fel, hogy MA - a felezővonal a KMN háromszög. ICA háromszög az első jele az egyenlőség háromszög MNA. Nevezetesen, a hipotézist illetően, hogy CM = NM, MA egy közös oldalon, ∟1 = ∟2, mert MA - ez felezővonal. Az egyenlőség a két háromszög, azt mondhatjuk, hogy ∟K = ∟N. Ennélfogva, a tétel bizonyított.

De mi érdekli, mi az az összeg, a háromszög szögeinek (egyenlő szárú). Mivel e tekintetben nem rendelkezik jellemzői, akkor indul a tétel korábban tárgyalt. Azaz, azt mondhatjuk, hogy ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, illetve 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (például a ∟K = ∟N). Ez nem bizonyítja az ingatlan, mint a tételt az összeget a háromszög szögeinek bebizonyosodott korábban.

Kivéve a helység tulajdonságait sarkában egy háromszög, ott is ilyen fontos megállapítás:

• in egyenlő oldalú háromszög magassága, amely már csökkentette a bázis, egyidejűleg a medián felezővonal a szög között van az egyenlő oldalak, valamint a szimmetriatengelye , bázissal;
• medián (szögfelező, magasság), amelyek tartják, hogy az oldalán egy geometriai alakzat, egyenlő.

oldalú háromszög

Úgy is nevezik, a jobb oldalon, a háromszög, amely egyenlő minden fél számára. És ezért is egyenlő és szögek. Mindegyik 60 fok. Lássuk be ezt a tulajdonságot.

Tegyük fel, hogy van egy háromszög KMN. Tudjuk, hogy a KM = HM = KH. Ez azt jelenti, hogy a szerint az ingatlan a szögek található, a bázist egy egyenlő oldalú háromszöget ∟K = ∟M = ∟N. Mivel szerint a szögek összege a háromszög tétel ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, akkor x 3 = 180 ° ∟K vagy ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Így, az állítás bizonyított. Amint látható a fenti bizonyítékok alapján a fenti tétel, a szögek összege egy egyenlő oldalú háromszög, mint a szögek összege minden más háromszög 180 fok. Ismét bizonyítva ennek a tételnek nincs szükség.

Vannak még jellemző tulajdonságok egy egyenlő oldalú háromszög:

• medián szögfelező magassága egy geometriai alak azonos, és a hosszuk számítjuk ki (a x √3): 2;
• Ha ez a sokszög körülíró kör, akkor a sugár egyenlő lesz (a x √3): 3;
• ha írt kör egyenlő oldalú háromszöget, annak sugara lenne (a x √3): 6,
• terület a geometriai alak képlettel számítjuk ki: (a2 x √3): 4.

Obtuse háromszög

A definíció szerint, tompaszögű háromszög, egyik sarkát van a 90 180 fok. De tekintettel arra, hogy a másik két szög a geometriai forma éles, arra lehet következtetni, hogy nem haladja meg a 90 fokot. Ezért az összeget a háromszög szögeinek tétel működik kiszámításakor a szögek összege a tompaszögű háromszög. Tehát nyugodtan mondhatjuk, a fentiek alapján, hogy a tétel összege tompa háromszög szögei 180 fok. Ismét ez a tétel nem kell újra bizonyíték.