Fourier-transzformáció. Gyors Fourier-transzformáció. Diszkrét Fourier-transzformáció

Fourier-transzformáció - transzformáció, tömörítő egy bizonyos funkciót egy valós változó. Ezt a műveletet minden alkalommal, amikor érzékeljük a különböző hangokat. Fül termel automatikus „számítás”, amely eleget tesz a tudatunk csak a vizsgálat után a szakasz a magasabb matematika. hallószervet egy humán transzformációs konstrukciók, amelyekben a hang (hagyományos rezgőmozgás részecskék olyan rugalmas közegben, amely szaporodjon hullám formájában a szilárd, folyékony vagy gáz-halmazállapotú közeg) van egy sor egymást követő értékei a hangerőt a hangok különböző magasságú. Ezt követően, az agy fordul az információt az összes ismerős hang.

Matematikai Fourier-transzformáció

Átalakítása hanghullámok vagy más vibrációs folyamat (fénykibocsátás és az óceán árapály és a csillagok vagy a napenergia ciklus) lehet végezni, és segítségével matematikai módszerek. Így ezeket a technikákat alkalmazva, a funkciók bővíthető bevezetésével vibrációs folyamatokban a szinuszos összetevők, azaz hullámos görbék, amelyek megy egy minimális és egy maximális, majd ismét a minimális, mint a hullám a tenger. Fourier-transzformáció - transzformációs függvény, amely leírja a fázis vagy amplitúdóját minden egyes szinuszjelet megfelel egy adott frekvencia. Fázis egy kiindulási pont a görbe, és az amplitúdó - a magassága.

Fourier-transzformáció (példák láthatók a képen) egy nagyon hatékony eszköz, mellyel a különböző tudományterületeken. Egyes esetekben, ahogy van, alkalmazzuk a megoldást meglehetősen komplex egyenletek, amelyek leírják a dinamikus folyamatok előforduló hatása alatt a fény, hő vagy villamos energia. Más esetekben, ez lehetővé teszi, hogy meghatározza a rendszeres komponensek komplex hullám miatt ez lehet igaz, hogy értelmezze a különböző kísérleti megfigyelések a kémia, az orvostudomány és a csillagászat.

történelmi adatok

Az első, aki ezt a módszert, a francia matematikus Zhan Batist Fure. Átalakítás, később róla elnevezett, eredetileg leírására használják a hővezetés mechanizmus. Fourier ő egész felnőtt életében részt vevő tanuló a tulajdonságok a hőt. Tette jelentős mértékben hozzájárul a matematikai elmélet meghatározása gyökereit algebrai egyenletek. Fourier volt professzora elemzés az École Polytechnique, a miniszter az intézet egyiptológia, a császári szolgálat, amely nagy feltűnést keltett az építés ideje alatt az út Turin (az ő vezetése alatt leengedjük a több mint 80 ezer négyzetkilométer maláriás mocsarak). Mindez azonban aktivizmus nem állt meg a tudós foglalkozik a matematikai analízis. 1802-ben, ez volt származó egyenlet az, amely leírja a terjedési hő szilárd. 1807-ben, tudós felfedeztek egy módszert-egyenlet, néven ismertté vált „Fourier-transzformáció”.

hővezető elemzés

A kutatók egy matematikai módszer leírására hővezetés mechanizmus. Egy alkalmas példa, ahol nem jelent nehézséget számítás a terjedési hőenergia egy vas gyűrűt, másrészről merített tüzet. Kísérleteket elvégezni Fourier red hot része a gyűrűt, és eltemetni a finom homok. Ezt követően, a hőmérsékletet végzett mérések a szemközti részét. Kezdetben, a hőelosztó szabálytalan: a gyűrű részeként - hideg, és a másik - forró, a zónák közötti lehet megfigyelni egy éles hőmérséklet-gradiens. Során azonban a hő eloszlását a fém felületén, úgy válik egyre egységesebb. Tehát hamarosan, ez a folyamat formájában szinuszhullám. Első grafikon fokozatosan növekszik, és csökkenti simán, pontosan jogszabályok változása a koszinusz vagy szinusz függvényt. Hullám fokozatosan kiegyenlített, és ennek eredményeként a hőmérséklet viszont egyenletes lesz a teljes felületen a gyűrű.

A szerző ezt a módszert feltételezzük, hogy a kezdeti eloszlás meglehetősen szabálytalan bontható több elemi szinusz hullámok. Mindegyikük lesz a fázisa (kezdeti helyzet), és a maximális hőmérsékletét. Így minden egyes ilyen komponens változik a minimum, maximum és vissza teljes fordulatot körül a gyűrű egész alkalommal. Komponens olyan időszak, amelyet az úgynevezett alapharmonikus, az érték két vagy több időszak - a második, és így tovább. Például egy matematikai függvény, amely leírja a maximális hőmérséklet, a fázis vagy helyzetét az úgynevezett Fourier transzformáltja eloszlásfüggvény. Scientist hozott egyetlen komponens, amelyet nehéz matematikai leírást, könnyen használható eszközöket - sorok szinusz és koszinusz, az összeg, amely a kezdeti eloszlás.

A lényege az elemzés

A fenti elemzést az átalakítás a hőeloszlás a szilárd tárgy, amelynek gyűrű alakú, egy matematikus indokolt, hogy a növekvő időszakok szinuszos összetevők vezet a gyors csillapítás. Ez világosan látható a fő és a második harmonikus. A végső hőmérséklet eléri kétszer a maximális és minimális értékeket egy menetben, és az első - csak egyszer. Kiderült, hogy a távolság, amelyet a hőt a második harmonikus fele akkora, mint a mag. Ezen túlmenően, a gradiens a második felében is meredekebb, mint az első. Ezért, mivel erősebb hőáram halad özvegy minimális távolság, akkor ezt csillapítani harmonikus négyszer gyorsabb, mint a fő, mint az idő függvényében. Az alábbiakban a folyamat még gyorsabb. Matematikus véljük, hogy ez a módszer lehetővé teszi számunkra, hogy meghatározzuk a folyamat kezdeti hőmérséklet-eloszlás az idő.

hívás kortársak

Fourier-transzformáció algoritmus vált kihívás, hogy az elméleti alapjait a matematika idején. A tizenkilencedik század elején legkiemelkedőbb tudós, köztük Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre és Biot nem fogadták el állítását, hogy a hőmérséklet a kezdeti eloszlás bontjuk alkatrészek formájában alapvető hullám és a magasabb frekvencia. Azonban a Tudományos Akadémia nem hagyhatta figyelmen kívül a kapott eredményeket matematikus, és oda neki a díjat az elmélet a hővezetés a törvényi, valamint végezze összehasonlítása fizikai kísérleteket. A Fourier megközelítés, a fő kifogás az, hogy a folytonos függvény által képviselt összeg több szinuszos függvények, amelyek folytonos. Végtére is, hogy leírják a tele egyenes és görbe vonalak. Kortárs tudós soha nem találkoztak ilyen helyzetben, amikor a folytonos leírt funkciók kombinációja folyamatos, például négyzetes, lineáris, szinusz vagy kiállítóként. Abban az esetben, ha egy matematikus jogosan állításait, az összeget egy végtelen sorozat trigonometrikus függvények kell korlátozni a pontos sebességet. Bár egy ilyen állítást abszurdnak tűnt. Annak ellenére azonban, a kételyek egyes kutatók (pl Claude Navier, Sofi Zhermen) kitágították a kutatás és kihozta őket az elemzés hőeloszlás. A matematika, eközben továbbra is szenvednek a kérdés, hogy egy bizonyos összeget több szinuszos függvények csökken pontos mása repedés.

200 éves történetében

Ez az elmélet sokat fejlődött több mint két évszázad, ma végül képződik. Segítségével a térbeli vagy időbeli funkciókat törik szinuszos összetevők, amelyek frekvencia, fázis és amplitúdó. Ez az átalakítás úgy kapjuk meg, két különböző matematikai módszerekkel. Az első közülük használjuk abban az esetben, amikor a forrás egy folytonos függvény, és a második - az esetben, ha jelen van, egy sor diszkrét, egyedi változások. Ha a kifejezés kapott értékek, amelyek meghatározása diszkrét időközönként, akkor lehet osztani több különálló szinuszos frekvenciák kifejezések - a legalacsonyabb, majd kétszeresére, háromszorosára, és így tovább a fenti alapvető. Ezt az összeget az úgynevezett a Fourier-sor. Ha a kezdeti kifejezést meghatározza az érték az egyes valós szám, akkor meg kell bontani több szinusz az összes lehetséges frekvenciát. Ezt hívják Fourier integrál, és a döntés azt jelenti, átalakítása a beépített függvény. Függetlenül attól, hogy a módszer az átalakulás, az egyes frekvencia jeleznie kell, a két szám: amplitúdó és frekvencia. Ezek az értékek vannak kifejezve egy komplex szám. Expression komplex változó elmélet együtt Fourier-transzformáció számítások elvégzésére engedélyezett a design különböző elektromos áramkörök, az elemzés a rázkódást, a tanulmány a hullám terjedési mechanizmus és a másik.

Fourier-transzformáció ma

Napjainkban, a tanulmány ezt a folyamatot alapvetően attól függ, hogy megtaláljuk a hatékony módszerek az átmenetet a funkció átalakítására vissza az eszembe. Ez a megoldás az úgynevezett direkt és inverz Fourier-transzformáció. Mit jelent ez? Annak érdekében, hogy meghatározzuk az integrál , és közvetlen Fourier-transzformáció, akkor a matematikai módszerek, de analitikus. Annak ellenére, hogy mikor használják a gyakorlatban vannak nehézségek, a legtöbb integrálok már találtak, és belépett a matematikai kézikönyvekben. A rendszer segítségével a numerikus módszerek lehet kiszámítani kifejezéseket, amelynek alakját alapul a kísérleti adatok, a függvény, amelynek integrálok a táblázatokban hiányzik, és ezek nehéz elképzelni egy analitikus formában.

Eljövetele előtt a számítógépes mérnöki számítások ilyen átalakításokat már nagyon unalmas, szükség manuális végrehajtása számos aritmetikai műveletek függ a pontok száma, amelyek leírják a hullámfüggvény. Rendezésének megkönnyítése ma, vannak speciális programok, hagyjuk végre új analitikai módszerek. Tehát 1965-ben Dzheyms Kuli és Dzhon Tyuki létrehozott szoftver vált ismertté, mint a "Fast Fourier Transform". Ez megment az idő a számítási számának csökkentésével szaporításukra az elemzés a görbe. „Fast Fourier Transform” A módszer azon alapul, elosztjuk a görbét egy nagyszámú egységes minta értékéből. Ennek megfelelően, a száma szorzásokat a felére csökken ezzel egyidőben csökken a pontok száma.

Alkalmazása a Fourier-transzformáció

Ezt az eljárást használják különböző területeken: A számelmélet, a fizika, a jelfeldolgozás, kombinatorika, valószínűségszámítás, kriptográfia, statisztikák, oceanográfiai, optika, akusztika, és más méretekkel rendelkezik. Gazdag lehetőségeket annak alkalmazása alapján számos hasznos funkciók, amelyek úgynevezett „tulajdonságok Fourier-transzformáció.” Nézzük őket.

1. A konverziós függvény lineáris operátor és egy megfelelő normalizálás egységes. Ez a tulajdonság az úgynevezett Parseval tétel, vagy az általános esetben a tétel Plansherelja vagy Pontrjagin dualizmus.

2. Az átalakítás reverzibilis. Ezen túlmenően, az ellenkező eredmény lényegében hasonló alakja van, mint a közvetlen címzés.

3. A szinuszos alapvető kifejezések saját differenciált funkciókat. Ez azt jelenti, hogy az ilyen ábrázolás változik a lineáris egyenletek állandó együtthatók egy hagyományos algebrai.

4. A „konvolúció” tétel, a folyamat teszi egy bonyolult művelet, az elemi szorzás.

5. Diszkrét Fourier Transform gyorsan megtervezni a számítógépre a „gyors” módszer.

Variációk a Fourier-transzformáció

1. Leggyakrabban a kifejezés, hogy utal egy állandó átalakulás, hogy bármilyen négyzetesen integrálható expressziós összegeként komplex exponenciális expresszió specifikus szög frekvenciájú és amplitúdójú. Ez a faj számos különböző formában, amely lehet különböző konstans együtthatók. A folyamatos eljárás magában foglal egy konverziós táblázatot, amely megtalálható a matematikai kézikönyvekben. A generalizált eset a frakcionált átalakítás, miáltal ez a folyamat lehet emelni, hogy a kívánt valós teljesítmény.

2. A folyamatos módszer általánosítása korábbi technika Fourier-sor definiált bármely periodikus függvények vagy kifejezések, amelyek léteznek egy korlátozott területen, és képviseli őket egy sor szinuszgörbe.

3. Diszkrét Fourier-transzformáció. Ezt a módszert alkalmazzák a számítástechnikai tudományos számítás és digitális jelfeldolgozás. Ahhoz, hogy végezze el az ilyen típusú számításokra van szükség, hogy egy funkciója meghatározásának egy diszkrét sor egyes pontok, időszakos vagy korlátozott régió helyett folyamatos Fourier integrálok. Jelkonvertáló ebben az esetben képviselteti összegeként szinuszoidok. Használata „gyors” módszer lehetővé teszi a digitális megoldások minden gyakorlati célra.

4. Az ablak Fourier-transzformáció egy általános nézet a klasszikus módszerrel. A hagyományos megoldások, amikor a jel spektrumát használjuk, amely figyelembe a teljes körű létezik ez változó különösen érdekes, itt csak a helyi gyakorisági eloszlását, miközben az eredeti változó (idő).

5. A kétdimenziós Fourier-transzformáció. Ezt a módszert alkalmazzák, hogy működjön együtt kétdimenziós tömbök adat. Ebben az esetben, a konverziót úgy hajtjuk végre az egyik irányba, majd - a másik.

következtetés

Ma, a Fourier módszerrel szilárdan beépült a különböző tudományterületeken. Például, 1962-ben megnyitotta az alakja a DNS kettős spirál Fourier analízis együtt röntgendiffrakciós. Legújabb kristályok összpontosított DNS szálak, így a kép amelyet úgy kapunk, diffrakciós, rögzített a film. Ez a kép adott tájékoztatást az értéke az amplitúdó használatával a Fourier-transzformáció, hogy ez a kristály szerkezetét. Fázis adatok összehasonlításával kapott DNS diffrakciós kártyák kártyákkal kapunk elemzése hasonló kémiai szerkezettel. Ennek eredményeként, a biológusok felújított kristályszerkezet - az eredeti funkciót.

Fourier-transzformáció játszanak nagy szerepet a tanulmány a világűrben, a fizika, a félvezető anyagok és a plazma, mikrohullámú akusztika, oceanográfiai, radar, szeizmológiai és orvosi vizsgálatok.