Cramer szabály és annak alkalmazása

Cramer-szabály - az egyik a pontos megoldási módjait rendszerek lineáris algebrai egyenletek (Slough). A pontosság miatt a használata a meghatározó a rendszer mátrix, valamint néhány, a korlátozásokat az igazolást a tétel.

Egy lineáris algebrai egyenletek együtthatók tartozó, például több R - valós számok az ismeretlenek x1, x2, ..., xn a gyűjtemény kifejezések

AI2 x1 + AI2 x2 + ... Ain xn = bi i = 1, 2, ..., m, (1)

ahol aij, bi - valós szám. Mindegyik kifejezést nevezzük lineáris egyenlet, aij - együtthatók az ismeretlenek, bi - független együtthatók egyenletek.

oldatot (1) említett n-dimenziós vektor x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), ahol szubsztitúció a rendszerbe az ismeretlenek x1, x2, ..., xn, egyes vonalak válik a rendszer legjobb egyenlet .

A rendszer neve következetes, ha van legalább egy megoldást, és a következetlen, ha egybeesik a megoldás halmaza üres halmaz.

Emlékeztetni kell arra, hogy annak érdekében, hogy megoldást találjanak rendszerek lineáris egyenletek módszerével Cramer, a mátrix rendszer kell legyen tér, ami lényegében azt jelenti, hogy azonos számú ismeretlenek és az egyenletek a rendszerben.

Tehát, hogy használja Cramer-féle módszerrel, akkor legalább tudjuk, hogy mi a Mátrix egy lineáris algebrai egyenletek, és ez ki. Másrészt, hogy megértsük, mi az úgynevezett meghatározója a mátrix és a saját képességeit számítás.

Tegyük fel, hogy ez a tudás birtokában. Csodálatos! Aztán van, hogy csak memorizálni képletek meghatározó Kramer módszer. Egyszerűsítése memorization használja a következő jelöléseket:

• Det - a fő meghatározója a mátrix a rendszer;

• deti - az a meghatározó a mátrix nyert elsődleges matrix rendszer helyett i-edik oszlopa a mátrix, oszlopvektor, melynek elemei az jobb oldalán lineáris algebrai egyenletek;

• n - az ismeretlenek száma és egyenletek a rendszerben.

Ezután Cramer-szabály számítás i-edik komponense xi (i = 1, .. n) n-dimenziós x vektor felírható

xi = deti / Det, (2).

Ebben az esetben a Det szigorúan különbözik nullától.

Az egyediségét a megoldást a rendszer, amikor együttesen végzi az egyenlőtlenség feltétele a fő meghatározója a rendszer nullára. Ellenkező esetben, ha az összeg (xi), négyzetes, szigorúan pozitív, akkor SLAE négyzetes mátrix megvalósíthatatlan. Ez akkor fordulhat elő, különösen akkor, ha legalább az egyik deti nulla.

1. példa. Hogy oldja meg a háromdimenziós LAU rendszer segítségével Cramer formula.
2 x1 + x2 + x3 = 31 4,
5 x1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Határozat. Mi írja le a mátrix a rendszer soronként, ahol Ai - az i-edik sorának a mátrix.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1).
Oszlop szabad együtthatók b = (31 október 29.).

A fő rendszer a meghatározó Det
Det = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + A31 A21 A32 - A13 A22 A31 - A11 A32 A23 - A33 A21 A12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

Kiszámításához a permutációs det1 felhasználásával a11 = b1, A21 = b2, A31 = b3. majd
det1 = b1 a22 a33 a12 a23 + a31 + b3 b2 a32 - a13 a22 b3 - b1 a32 a23 - a33 a12 b2 = ... = -81.

Hasonlóképpen, hogy kiszámolja det2 használatra szubsztitúciós a12 = b1, A22 = b2, A32 = b3, és ennek megfelelően, kiszámításához det3 - A13 = b1, A23 = b2, A33 = b3.
Akkor ellenőrizze, hogy det2 = -108 és det3 = - 135.
Szerint a képletek Cramer találják x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.

Válasz: X ° = (3,4,5).

Támaszkodva a alkalmazhatóságát ez a szabály, a módszer a Kramer megoldására rendszerek lineáris egyenletek lehet használni közvetve, például, hogy vizsgálja meg a rendszert a lehetséges megoldások száma függően egy paraméter értékét k.

2. példa Annak meghatározására, hogy milyen értékeket a k paraméter egyenlőtlenség | KX - y - 4 | + | x + ky + 4 | <= 0 egyenletnek pontosan egy megoldás.

Határozat.
Ez az egyenlőtlenség, a definíció a modul funkció csak akkor hajtható végre, ha mindkét kifejezés nulla egyszerre. Ezért, ez a probléma csökkenthető megtalálni a megoldást lineáris algebrai egyenletek

kx - y = 4,
x + ky = -4.

A megoldás, hogy ezt a rendszert csak akkor, ha ez a fő meghatározója a
Det = k ^ {2} + 1 regiszterben nem nulla. Egyértelmű, hogy ez a feltétel teljesül minden valós értékeit paraméter k.

Válasz: minden valós értékeit paraméter k.

A célkitűzések az ilyen típusú is lehet csökkenteni számos gyakorlati probléma terén a matematika, fizika vagy kémia.