Az a sík egyenletét: hogyan? Típusai sík egyenletek

A sík terület lehet meghatározni különböző módon (egy pont és vektor a vektor és a két pont, három pont, stb.) Ez ezt szem előtt tartva, a sík egyenlete lehet különböző. Szintén bizonyos körülmények síkban lehet párhuzamos, merőleges, egymást metsző, stb Ezen és beszélni ebben a cikkben. Megtanuljuk, hogy az általános egyenlet a gépet, és nem csak.

A szokásos formája az egyenlet

Tegyük fel, R jelentése a _{3 térbe,} amely egy derékszögű koordináta-rendszert XYZ. Mi határozza meg a vektor α, amelyet fel kell szabadítani a kiindulópontja O. végéig a vektor α felhívni P sík, amely merőleges.

Jelentése p egy tetszőleges helyen Q = (x, y, z). A sugár vektor a Q pont jele levél p. A hossza a vektor egyenlő α p = IαI és ʋ = (cosa, cosβ, cosγ).

Ez az egység vektort, amely arra irányul, az irányba, mint vektor α. α, β és γ - olyan szögek, amelyek között kialakult a vektor és a pozitív irányok ʋ térben tengelyek x, y, z rendre. A vetítés egy pontjának vektor QεP ʋ egy konstans, amely egyenlő a p (p, ʋ) = p (r≥0).

A fenti egyenlet jelentéssel bír, amikor p = 0. Az egyetlen n sík ebben az esetben, ami metszéspont O (α = 0), amely az eredete, és az egység vektor ʋ, felszabaduló az O pont lesz merőleges a P, bár annak irányát, ami azt jelenti, hogy a vektor ʋ meghatározva fel a jel. Előző egyenlet a P sík kifejezett vektor formában. De figyelembe véve a koordinátáit is:

P értéke nagyobb vagy egyenlő, mint 0. Azt találtuk a síkban egyenletet normál formában.

Az általános egyenlet

Ha az egyenlet a koordinátákat szorozza bármilyen szám, amely nem egyenlő nullával, megkapjuk az egyenlet ekvivalens ez határozza meg, hogy a nagyon síkon. Ez lesz a következő formában:

Itt, A, B, C - a egyidejűleg számos nullától eltérő. Ez az egyenlet az úgynevezett egyenlet általános alakját a gépet.

Az egyenletek a repülőgépek. Különleges esetek

Az egyenlet általában módosíthatók további feltételeket. Vegyünk néhány közülük.

Tegyük fel, hogy az együttható a értéke 0. Ez azt jelzi, hogy a párhuzamos sík az előre meghatározott tengellyel Ox. Ebben az esetben, a forma az egyenlet változik: Wu + Cz + D = 0.

Hasonlóképpen, a forma egyenlet, és változhat az alábbi feltételeknek:

• Először is, ha B = 0, az egyenlet változik Ax + Cz + D = 0, ami azt jelzi, a párhuzamos-e a tengelyre Oy.
• Másodszor, ha a C = 0, az egyenlet átalakul ax + by + D = 0, azaz körülbelül párhuzamos az előre meghatározott tengellyel Oz.
• Harmadszor, ha a D = 0, az egyenlet jelenik meg ax + by + Cz = 0, ami azt jelentené, hogy a sík metszi O (eredete).
• Negyedszer, ha A = B = 0, az egyenlet változik Cz + D = 0, amely bizonyítja, hogy a párhuzamosság Oxy.
• Ötödször, ha B = C = 0, az egyenlet válik Ax + D = 0, ami azt jelenti, hogy a sík párhuzamos Oyz.
• Hatodszor, ha A = C = 0, az egyenlet formájában Wu + D = 0, azaz, fogja jelenteni, hogy a párhuzamosság Oxz.

Az egyenlet alakjának a szegmensek

Abban az esetben, ahol a számok az A, B, C, D nullától eltérő, a forma egyenlet (0) a következők lehetnek:

X / a + y / b + Z / c = 1,

ahol a = -D / A, b = -D / B, C = -D / C.

Kapunk eredményeként a sík egyenletét darabokban. Meg kell jegyezni, hogy ez a sík metszi az x tengely a ponton koordinátái (a, 0,0), Oy - (0, b, 0), és Oz - (0,0, s).

Mivel az x / a + y / b + Z / c = 1, ez nem nehéz elképzelni az elhelyezés síkja képest egy előre meghatározott koordináta-rendszerben.

A koordináták a normál vektor

A normál vektor n a P sík a koordinátái, amelyek a együtthatói általános egyenlete a síkon, azaz n (A, B, C).

Annak érdekében, hogy meghatározzák a koordinátákat a normális n, elegendő tudni az általános egyenlet adott síkban.

Amikor a következő egyenletet használva a szegmensek, amely az x / a + y / b + Z / c = 1, mivel ha az általános egyenlet felírható a koordinátákat az esetleges normál vektor egy adott sík: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Meg kell jegyezni, hogy a normál vektora segít megoldani különböző problémákat. A leggyakoribb problémák álló bizonyíték merőleges vagy párhuzamos síkokban, a feladat megtalálni a szögek a síkok közötti, vagy a síkjai közötti szögek és egyenes vonalak.

Írja szerint a gépet egyenletet, és a pont koordinátáit normálvektor

Egy nem nulla vektor n, merőlegesen egy adott síkban, az úgynevezett normál (normál), hogy egy előre meghatározott síkban.

Tegyük fel, hogy a koordinátarendszerben (derékszögű koordináta-rendszer) Oxyz beállítani:

• Mₒ pont koordinátái (hₒ, uₒ, zₒ);
• nulla vektor n = A * i + B * j + C * k.

Be kell, hogy a sík egyenletét, amely áthalad Mₒ pont merőleges a normális n.

A térben úgy döntünk tetszőleges ponton, és jelentésük, M (x, y, z). Legyen a sugara vektort minden egyes M pont (x, y, z) lesz r = x * i + y * j + Z * k, és a sugara vektor egy pont Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. Az M pont fog tartozik egy adott síkban, ha a vektor MₒM merőleges a vektor n. Írunk a feltétele ortogonalitásának a skalár szorzat:

[MₒM, n] = 0.

Mivel MₒM = r-rₒ a vektor a sík egyenletét a következőképpen néz ki:

[R - rₒ, n] = 0.

Ez az egyenlet is van egy másik formája. Erre a célra, a tulajdonságait a skalár termék, és átalakítjuk a bal oldalon az egyenlet. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Ha [rₒ, n] jelöli, s, megkapjuk a következő egyenlet: [r, n] - a = 0, vagy a [r, n] = s, amely kifejezi a állandóságának a nyúlványok a normál vektort a sugár-vektorok az adott pontok tartozó síkon.

Most lehet kapni a koordináta típusú rögzítési síkban a vektor egyenlet [R - rₒ, n] = 0. Mivel r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (Z-zₒ) * k, és n = A * i + B * j + C * k, van:

Kiderült, hogy van az egyenlet van kialakítva áthaladó sík ponton merőleges a normál N:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (Z-zₒ) = 0.

Írja szerint a gépet egyenletet és koordinátáit a két pontot a vektor síkja kollineáris

Definiáljuk két tetszőleges pont M '(X', Y 'Z') és az M "(x", y”, Z "), valamint a vektort (a”, a", a ‴).

Most tudjuk írni egyenletet előre meghatározott síkban, amely átmegy a létező pont M „és M”, és minden egyes pont a koordinátái M (x, y, z) párhuzamosan egy adott vektor.

Így mélt'sága vektorok X = {x 'y-y'; zz '} és M "M = {x" -x', y 'y'; z „-Z„} azonos síkban kell lenniük a vektor a = (a”, a " a ‴), ami azt jelenti, hogy a (mélt'sága M" M, a) = 0.

Tehát mi egyenlet egy sík térben fog kinézni:

Típusa sík egyenlete, átkelés három pontot

Tegyük fel, hogy van három pontot: (x 'y', z '), (x', y 'z'), (x ‴ Have ‴, Z '), amelyek nem tartoznak az ugyanabban a sorban. Meg kell írni a sík egyenletét áthaladó három pontot megadva. geometria elméletét azzal érvel, hogy ez a fajta sík létezik, ez csak egyetlen. Mivel ez a sík metszi a pont (x „y”, z „), annak egyenlet formájában lenne:

Itt, A, B, és C eltér nullától egyidejűleg. Szintén adott sík metszi két több pontot (x "y", z „), és (x ‴, y ‴, Z '). Ebben az összefüggésben kell elvégezni ezt a fajta feltételek:

Most mi is létrehozhatunk egy egységes rendszert az egyenleteket (lineáris) és ismeretlenek u, v, w:

A mi esetünkben x, y vagy z jelentése tetszőleges pont, amely megfelel (1) egyenlet. Figyelembe véve egyenletet (1) és egy egyenletrendszer (2) és (3) az egyenletrendszert az ábrán jelöltük a fenti, a vektor megfelel N (A, B, C), amely nem triviális. Ez azért van, mert a meghatározó a rendszer nulla.

(1) egyenlet, hogy megvan, ez az egyenlet a gépet. 3 pont tényleg megy, és ez könnyen ellenőrizhető. Ehhez bővítjük a meghatározó elemek által az első sorban. A meglévő tulajdonságait meghatározó következik, hogy a mi síkban egyidejűleg metszi a három eredetileg előre meghatározott pont (x 'y', z „), (x " y", Z„), (x ‴, y ‴, Z '). Ezért úgy döntöttünk, hogy megbízzák előttünk.

Diéderes szög a síkok közötti

Diéderes szög térbeli geometriai forma által alkotott két fél-sík, hogy árad egy egyenes vonal. Más szóval, része a tér, amely csak a fél-síkon.

Tegyük fel, hogy van két sík a következő egyenletek:

Tudjuk, hogy a vektor N = (A, B, C) és a NI = (A', protonmágneses, S¹) és az előre meghatározott síkok merőlegesek. Ebben a tekintetben, a szög φ vektorok közötti N és N'egyenlő szöget (diéderes) található, amely ezek között a síkok. A skaláris szorzata adja meg:

NN¹ = | N || Nl | cos φ,

éppen azért, mert

cosφ = NN¹ / | N || Nl | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (a² + s² + V²)) * (√ (A') ² + (protonmágneses) ² + (S¹) ²)).

Elég, ha figyelembe vesszük, hogy 0≤φ≤π.

Tulajdonképpen két sík, amelyek metszik, forma két szög (diéderes): φ ₁ és φ _2. Ezek összege egyenlő tc (φ ₁ + φ ₂ = π). Ami a koszinuszok, az abszolút érték egyenlő, de ezek a különböző jelek, azaz, cos φ ₁ = -cos φ _2. Ha az egyenlet (0) helyébe az A, B és C -A, -B és -C-, az egyenlet, kapjuk, határozza meg a síkban helyezkednek el, az egyetlen szög φ egyenletben cos φ = NN ¹ / | N || N ¹ | Ez váltja π-φ.

Az egyenlet a merőleges síkban

Úgynevezett merőleges síkban, amelyek között a szög 90 fok. A bemutatott anyag fent találunk az egyenlet egy sík merőleges a másik. Tegyük fel, hogy két sík: ax + by + Cz + D = 0, és a + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Azt mondhatjuk, hogy azok merőlegesek, ha cos = 0. Ez azt jelenti, hogy NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

Az egyenlet a párhuzamos síkban

Utalt a két párhuzamos sík, amely nem tartalmaz közös pontja.

A feltétel párhuzamos síkok (azok egyenletek ugyanazok, mint az előző pontban), hogy a vektorok N és Nl, amelyek merőlegesek a számukra, kollineáris. Ez azt jelenti, hogy a következő feltételek teljesülnek arányosság:

A / A'= B / C = protonmágneses / S¹.

Ha az arányos kifejezéseket kiterjesztett - A / A'= B / C = protonmágneses / S¹ = DD¹,

ez azt jelzi, hogy az adatok síkja azonos. Ez azt jelenti, hogy egyenlete ax + by + Cz + D = 0 és + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 leírják egy síkban.

A távolság pont síkra

Tegyük fel, hogy egy P síkban, ami által (0). Meg kell találni a távolság a pont koordinátái (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. Te kell, hogy az egyenlet a II sík normális megjelenés tenni:

(Ρ, v) = p (r≥0).

Ebben az esetben, ρ (x, y, z) a sugár vektor a mi Q pont, található n p - n a hossza a merőleges, amely megjelent a nulla pont, v - az az egység, vektor, amely úgy van elrendezve irányában a.

A különbség ρ-ρº sugara vektor egy pont Q = (x, y, z), tartozó n és a sugár vektor egy adott pont Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) olyan vektor, az abszolút értéke a vetületét, amely a v egyenlő a d távolság, amely szükséges, hogy megtalálják a Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) a P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, de

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = P (ρ ^0, v).

Így kiderül,

d = | (ρ ^0, v) p |.

Most már nyilvánvaló, hogy a távolság kiszámításához d ₀ és Q P sík, szükséges használni a normál nézet síkjával egyenletet, a váltás a bal p, és az utolsó hely, x, y, z helyettesítő (hₒ, uₒ, zₒ).

Így találjuk az abszolút értéke a kapott kifejezést, ami szükséges d.

Paramétereit használó nyelv, megkapjuk a nyilvánvaló:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (a² + V² + s²).

Ha a megadott Q pont ₀ van a másik oldalon a P sík, mint a származás, majd a vektor ρ-ρ ⁰ és v tompaszög, így:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

Abban az esetben, amikor a Q pont ₀ összefüggésben a származási található ugyanazon oldalán az U, a hegyesszög jön létre, azaz:

d = (ρ-ρ ^0, v) = P - (ρ ^0, v)> 0.

Az eredmény az, hogy az előbbi esetben (ρ ^0, v)> p, a második (ρ ^0, v)

És érintősík egyenlet

Ami a gépet a felszínre az érintési pont Mº - sík tartalmazza az összes lehetséges érintő a görbe áthúzzák, hogy pont a felületen.

Ezzel a felülete Az egyenlet alakjának F (x, y, z) = 0 az egyenletben az érintő érintő sík pont Mº (hº, uº, zº) lenne:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (Z-zº) = 0.

Ha a felület beállítása kifejezetten z = f (x, y), majd az érintő sík által leírt egyenlettel:

Z-zº = f (hº, uº) (hº x) + F (hº, uº) (y uº).

A kereszteződés két sík

A háromdimenziós tér egy koordináta-rendszer (négyszögletes) Oxyz, adott két sík a P „és P”, hogy átfedik egymást, és nem esik egybe. Mivel bármely síkban, amely egy derékszögű koordináta-rendszert által meghatározott általános egyenlet szerint, azt feltételezzük, hogy n „és n„által meghatározott egyenletek A'x + V'u S'z + + D”= 0 és A" + B x '+ y a "Z + D" = 0. Ebben az esetben normális N '(A', B 'C') a sík P 'és a szokásos N "(A", B "C") a sík P'. Ahogy a sík nem párhuzamos és nem esik egybe, akkor ezek a vektorok nem esik. A matematika nyelvén, mi ez a feltétel felírható: n '≠ n "↔ (A', B 'C') ≠ (λ * És", λ * A "λ * C"), λεR. Legyen az egyenes vonal metszéspontjában P „és P” fogja jelölni a betűt, ebben az esetben a = P”∩ P".

és - egy sort, amely több pontot (közös) síkok P „és P”. Ez azt jelenti, hogy a bármely pont koordinátáit tartozó vonal egy, egyszerre kell felelniük az egyenlet A'x + V'u S'z + + D '= 0 és A „x + B' + C y" z + D "= 0. Ez azt jelenti, hogy az a pont koordinátáit lesz egy adott megoldás a következő egyenletek:

Az eredmény az, hogy a megoldás (teljes) e egyenletrendszer fogja meghatározni a koordinátáit az egyes pont a vonalon, ami jár, mint a metszéspontja P „és P”, és meghatározza a vonal egy koordináta-rendszerben Oxyz (négyszögletes) helyet.